Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）設(shè)函數(shù)，討論的極值點個數(shù)，并求出相應(yīng)極值；

（2）若，且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）極值點個數(shù)見解析，相應(yīng)極值見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）求出的導(dǎo)函數(shù)，對a進行分類討論求解討論極值點；

（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得，結(jié)合在上單調(diào)遞增，即可得證.

（1）函數(shù)

，

∴

，

令，解得或，

當時，；當時，.

①若時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增，有2個極值點.

∴當時，函數(shù)有極小值，極小值為；

當時，函數(shù)有極大值，極大值為.

②當時，在上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有2個極值點，

∴當時，函數(shù)有極大值，極大值為；

當時，函數(shù)有極小值，極小值為.

③當時，，

∴在R上單調(diào)遞增，無極值點，故無極值.

（2）∵，

又，

∴，

又在上單調(diào)遞增，

∴時，有，

∴.