Question

【題目】已知橢圓：，橢圓以的長(zhǎng)軸為短軸，且與有相同的離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)分別在橢圓和上，，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

試題分析：（1）求出橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，離心率，根據(jù)橢圓以的長(zhǎng)軸為短軸，且與有相同的離心率，即可確定橢圓的方程；（2）設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為，，由及（1）知，三點(diǎn)共線且點(diǎn)不在軸上，因此可設(shè)直線的方程為，分別與橢圓和聯(lián)立，求出的橫坐標(biāo)，利用，即可求得直線的方程.

試題解析：（1）由已知可設(shè)橢圓的方程為（），其離心率為，

故，則，故橢圓的方程為.

（2）（方法一）兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為，，由及（1）知，三點(diǎn)共線且點(diǎn)不在軸上，因此可設(shè)直線的方程為，

將代入橢圓方程中，得，所以，

將代入中，得，所以，

又由得，即，解得，

故直線的方程為或.

（方法二）A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為，，由及（1）知，三點(diǎn)共線且點(diǎn)不在軸上，因此可設(shè)直線的方程為，

將代入橢圓方程中，得，所以，

由得，，

將代入橢圓C2的方程中，得，即，

解得，故直線AB的方程為或.