Question

【題目】已知函數(shù).

(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)求函數(shù)的極值.

Answer 1

【答案】(1) 時(shí)， 遞減； 時(shí)， 遞增；(2)見解析.

【解析】分析：（1）求得函數(shù)，代入，得，設(shè)，得，得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的單調(diào)性；

（2）由（1），得到，由在區(qū)間遞減，在遞增，得到時(shí)，分類討論即可求得的極值.

詳解：(1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，其導(dǎo)數(shù)為.當(dāng)時(shí)，

設(shè)，則，顯然時(shí)遞增；

時(shí)， 遞減，故，于是，

所以時(shí)， 遞減； 時(shí)， 遞增；

(2)由(1)知，

函數(shù)在遞增，在遞減，所以

又當(dāng)時(shí)， ,

討論：

①當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)：

因?yàn)?/span>時(shí)， 遞增； 時(shí)， 遞減；

所以，無極小值；

②當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)：

因?yàn)?/span>時(shí)， 遞減； 時(shí)， 遞增；

所以，無極大值；

③當(dāng)時(shí)，

又在遞增，所以在上有唯一零點(diǎn),且,

易證： 時(shí)， ，所以,

所以

又在遞減，所以在上有唯一零點(diǎn)，且，故：

當(dāng)時(shí)， 遞減；當(dāng)， 遞增；

當(dāng)時(shí)， 遞減；當(dāng)， 遞增；

所以， ， ,

.