Question

16．已知冪函數(shù)f（x）=x${\;}^{-{k}^{2}+k+2}$k（∈Z） 滿足f（2）＜f（3）
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=1-qf（x）+（2q-1）x在區(qū)間[-1，2]上是減函數(shù)，求非負實數(shù)q的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）結合冪函數(shù)的性質得到不等式，解出k的值，從而求出函數(shù)f（x）的表達式；
（2）先表示出函數(shù)g（x）的表達式，結合函數(shù)的單調性通過討論q的范圍，從而得到答案．

解答 解：（1）依題意可知，-k²+k+2＞0，解得：-1＜k＜2，
又k∈Z，所以k=0或1，則-k²+k+1=2，
所以：f（x）=x²．
（2）g（x）=-qx²+（2q-1）x+1，（q≥0），
當q=0時，g（x）=-x+1在[-1，2]單調遞減成立；
當q＞0時，g（x）=-qx²+（2q-1）x+1開口向下，對稱軸右側單調遞減，
所以$\frac{2q-1}{2q}$≤-1，解得0＜q≤$\frac{1}{4}$；
綜上所述，0≤q≤$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了函數(shù)解析式的求法，考查函數(shù)的單調性問題，是一道基礎題．