Question

【題目】如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且．

(Ⅰ)證明：無論取何值，總有；

(Ⅱ)當(dāng)取何值時(shí)，直線與平面所成的角最大？并求該角取最大值時(shí)的正切值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)詳見解析; (Ⅱ) 當(dāng)時(shí)取得最大值,此時(shí).

【解析】

試題(Ⅰ)由勾股定理可證得.從而可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.根據(jù)已知條件可得各點(diǎn)的坐標(biāo).從而可得各向量的坐標(biāo).根據(jù),可得點(diǎn)的坐標(biāo).根據(jù)數(shù)量積公式證,即證得.(Ⅱ)根據(jù)線面垂直可得面的一個(gè)法向量. 直線與平面所成的角的正弦值等于與面的法向量所成角的余弦值的絕對值.根據(jù)配方法可求得其最值.

試題解析：證明：由，可得，

則 即 、、兩兩相互垂直

如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則

，可得

( Ⅰ）∵，

∴

∴無論取何值，

（Ⅱ）∵（0，0，1）是平面的一個(gè)法向量

∴=

∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，

此時(shí)=,=,