Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+4，x＜0\\ x{e^x}，x≥0\end{array}$，若f（x₁）=f（x₂）（x₁＜x₂），則$\frac{{f（{x_2}）}}{x_1}$的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，0]
• B． [1，+∞）
• C． （-∞，0）
• D． （-∞，0）∪（0，+∞）

Answer 1

分析 由已知中函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+4，x＜0\\ x{e^x}，x≥0\end{array}$滿足f（x₁）=f（x₂）（x₁＜x₂），可得-2≤x₁＜0，則$\frac{{f（{x_2}）}}{x_1}$=$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$=$\frac{-{{x}_{1}}^{2}+4}{{x}_{1}}$=-x₁+$\frac{4}{{x}_{1}}$，進(jìn)而得到答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+4，x＜0\\ x{e^x}，x≥0\end{array}$，滿足：f（x₁）=f（x₂）（x₁＜x₂），
則-2≤x₁＜0，
則$\frac{{f（{x_2}）}}{x_1}$=$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$=$\frac{-{{x}_{1}}^{2}+4}{{x}_{1}}$=-x₁+$\frac{4}{{x}_{1}}$，
由y=-x+$\frac{4}{x}$在[-2，0）上為減函數(shù)，
當(dāng)x₁=2時(shí)，-x₁+$\frac{4}{{x}_{1}}$=0，
x₁→0時(shí)，-x₁+$\frac{4}{{x}_{1}}$→-∞，
故-x₁+$\frac{4}{{x}_{1}}$∈（-∞，0]
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的值域，難度中檔．