Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F₁、F₂，O為坐標原點，點A在雙曲線的右支上，點B在雙曲線左準線上，

F2O

=

AB

，

OF2

•

OA

=

OA

•

OB

•
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）若此雙曲線過C(2，

3

)，求雙曲線的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，D₁、D₂分別是雙曲線的虛軸端點（D₂在y軸正半軸上），過D₁的直線l交雙曲線于點M、N，

D2M

⊥

D2N

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）

F2O

=

AB

?四邊形F₂ABO是平行四邊形，由

OA

•

BF2

=0，知平行四邊形F₂ABO是菱形．由此能求出雙曲線的離心率e．
（Ⅱ）由

c

a

=2?b²=c²-a²=3a²，雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

3a2

=1，把點C(2，

3

)代入得a²=3，由此能求出雙曲線方程．
（Ⅲ）D₁（0，-3），D₂（0，3），設l的方程為y=kx-3，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

y=kx-3 3x2-y2=9

?(3-k2)x2+6kx-18=0，因l與雙曲線有兩個交點，再由根的判別式和韋達定理進行求解．

解答：解：（Ⅰ）

F2O

=

AB

?四邊形F₂ABO是平行四邊形，
∴

OA

(

OF2

-

OB

)=0，即

OA

•

BF2

=0，
∴

OA

⊥

BF2

，
∴平行四邊形F₂ABO是菱形．
如圖，則r₂=d₁=c，r₁=2a+r₂=2a+c，
由雙曲線定義得r₁=d₁e?2a+c=ce?e²-e-2=0，
∴e=2（e=-1舍去）（3分）
（Ⅱ）由

c

a

=2?b²=c²-a²=3a²，
雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

3a2

=1，
把點C(2，

3

)代入有得a²=3，
∴雙曲線方程

x3

3

-

y2

9

=1．（6分）
（Ⅲ）D₁（0，-3），D₂（0，3），
設l的方程為y=kx-3，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
則由

y=kx-3 3x2-y2=9

?(3-k2)x2+6kx-18=0，
因l與雙曲線有兩個交點，∴3-k²≠0．
∵x1+x2=

-6k

3-k2

，x1•x2=

-18

3-k2

，
△=36k²+4×18（3-k²）＞0（8分）
∴y1+y2=k(x1+x2)-6=

-18

3-k2

，
y₁•y₂=k²x₁x₂-3k（x₁+x₂）+9=9Q

D2M

=(x1，y1-3)，

D2M

=(x2，y2-3)，

D2M

⊥

D2N

?x₁•x₂+y₁•y₂-3（y₁+y₁）+9=0
∴

-18

3-k2

+9-3

-18

3-k2

+9=0?k²=5，
滿足△＞0，
∴k=±

5

（11分）
故所求直線l方程為y=

5

x-3或y=-

5

x-3（13分）

點評：本題考查雙曲線的離心率和雙曲線方程的求法，求直線方程．主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．