Question

已知雙曲線E：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F（3，0），過點F的直線交雙曲線于A，B兩點，若AB的中點坐標為N（-12，-15），則E的方程為（　�。�

• A、

  x2

  3

  +

  y2

  6

  =1
• B、

  x2

  6

  -

  y2

  3

  =1
• C、

  x2

  4

  -

  y2

  5

  =1
• D、

  x2

  5

  -

  y2

  4

  =1

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入雙曲線的方程，兩式相減，根據(jù)線段AB的中點坐標為（-12，-15），求出斜率，進而可得a，b的關系，根據(jù)右焦點為F（3，0），求出a，b的值，即可得出雙曲線的方程．

解答： 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x12

a2

-

y12

b2

=1，

x22

a2

-

y22

b2

=1，
兩式相減可得，

(x1+x2)(x1-x2)

a2

=

(y1+y2)(y1-y)2

b2

∵線段AB的中點坐標為N（-12，-15），
∴

-24(x1-x2)

a2

=

-30(y1-y2)

b2

∴

y1-y2

x1-x2

=

4b2

5a2

∵直線的斜率為

-15

-12-3

=1
∴

4b2

5a2

=1
∵右焦點為F（3，0），
∴a²+b²=9
解得a²=4，b²=5
∴E的方程為

x2

4

-

y2

5

=1
故選C．

點評：本題考查雙曲線的方程，考查點差法的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．