Question

7．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+$\frac{1}{2^2}$+$\frac{1}{3^2}$+…+$\frac{1}{n^2}$＜2-$\frac{1}{n}$（n≥2）

Answer 1

分析 原題要求利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式，首先驗(yàn)證n=2時(shí)不等式成立，然后假設(shè)n=k時(shí)不等式成立，然后利用歸納假設(shè)證明n=k+1時(shí)不等式成立，最后下結(jié)論．

解答 證明：①當(dāng)n=2時(shí)，原不等式左邊=$1+\frac{1}{{2}^{2}}=\frac{5}{4}$，右邊=$2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}=\frac{6}{4}$，左邊＜右邊，不等式成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，原不等式成立，即1+$\frac{1}{2^2}$+$\frac{1}{3^2}$+…+$\frac{1}{{k}^{2}}$＜2-$\frac{1}{k}$成立，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，1+$\frac{1}{2^2}$+$\frac{1}{3^2}$+…+$\frac{1}{{k}^{2}}$+$\frac{1}{（k+1）^{2}}$＜2-$\frac{1}{k}$+$\frac{1}{（k+1）^{2}}$=$2-\frac{{k}^{2}+2k+1-k}{k（k+1）^{2}}$
=$2-\frac{{k}^{2}+k+1}{k（k+1）^{2}}$=$2-\frac{k（k+1）}{k（k+1）^{2}}-\frac{1}{k（k+1）^{2}}$$＜2-\frac{k（k+1）}{k（k+1）^{2}}=2-\frac{1}{k+1}$．
即n=k+1時(shí)原不等式也成立．
綜上，對(duì)于任意n（n∈N^*且n≥2）原不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式，利用歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，關(guān)鍵是用上歸納假設(shè)，是中檔題．