Question

如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，且，,，點(diǎn)分別為、、的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求證：；

（3）求二面角的余弦值.

 

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）線面平行的證明主要是走線面平行的判定定理這條路，因此必須在平面內(nèi)尋找到一條與平行的直線，借助平幾知識(shí)，這條直線不難找到；（2）在證明垂直關(guān)系時(shí)，如果幾何證明有困難，也可從向量考慮；（3）求二面角的大小，主要是走向量這條路，它有固定步驟：首先求兩個(gè)面的法向量，其次求法向量的余弦值進(jìn)而得法向量的夾角，然后根據(jù)二面角是銳角還是鈍角，決定其大小.

試題解析：（1）證明：連接，是的中點(diǎn) ，過點(diǎn)，

為的中點(diǎn)，，

又面，面，平面；

（2）在直角中，，，，

棱柱的側(cè)棱與底面垂直，且，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系如圖示，則，，，，，

，，

，；

（3）依題意得，，，，，，，，

設(shè)面的一個(gè)法向量為，

由，得，令，得，

同理可得面的一個(gè)法向量為，

故二面角的平面角的余弦值為.

考點(diǎn)：空間向量與立體幾何.