Question

15．若$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（sin（ωx+φ），cos（ωx+φ））（ω＞0，0＜|φ|＜$\frac{π}{2}$），f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，已知點P（x₁，y₁），Q（x₃，y₂）是函數f（x）圖象上的任意兩點，若|y₁-y₂|=4時，|x₁-x₂|最小值為$\frac{π}{2}$，且函數f（x）為奇函數．
（I）求f（$\frac{π}{6}$）的值；
（Ⅱ）將函數y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位后，得到函數y=g（x）的圖象，求函數g（x）單調遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據向量的數量積公式寫出f（x）的解析式并化簡，根據|y₁-y₂|=4時，|x₁-x₂|最小值為$\frac{π}{2}$，求出周期，繼而得到ω，根據f（x）的奇偶性和φ的范圍得出φ．得出f（x）的解析式，求出f（$\frac{π}{6}$）；
（2）根據函數圖象的變換規(guī)律寫出g（x）的解析式，結合正弦函數的單調性列出不等式解出g（x）的單調區(qū)間．

解答 解：（1）f（x）=sin（ωx+φ）+$\sqrt{3}$cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ+$\frac{π}{3}$）．∴f_max（x）-f_min（x）=4．
∵|y₁-y₂|=4時，|x₁-x₂|最小值為$\frac{π}{2}$，∴f（x）的周期T=$\frac{π}{2}$×2=π．∴ω=2．
∵f（x）是奇函數，且0＜|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{3}$．∴f（x）=2sin2x，∴f（$\frac{π}{6}$）=2sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$．
（2）g（x）=2sin2（x-$\frac{π}{6}$）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
令-$\frac{π}{2}+2kπ$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，解得-$\frac{π}{12}+kπ$≤x≤$\frac{5π}{12}+kπ$，
∴函數g（x）單調遞增區(qū)間是[-$\frac{π}{12}+kπ$，$\frac{5π}{12}+kπ$]，k∈Z．

點評 本題考查了平面向量的數量積運算，三角函數的恒等變換，三角函數的單調性，屬于中檔題．