Question

6．命題p：函數(shù)f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}+2x+^{2}+2}$的值域?yàn)榧�合A，命題q：函數(shù)g（x）=[x²-（a-$\frac{1}{2}$）x+c]|x|是偶函數(shù)．
（1）若命題q為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，設(shè)a的取值范圍為B，若（∁_UB）?A，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出滿足命題q為真命題時(shí)a的取值范圍，進(jìn)而求出其補(bǔ)集，可得命題q為假命題時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若（∁_UB）?A，則$\frac{1}{2}$∈A，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出集合A，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答 解：（1）若命題q為真命題，
則g（-x）=[（-x）²-（a-$\frac{1}{2}$）（-x）+c]|-x|=[x²+（a-$\frac{1}{2}$）x+c]|x|=g（x）=[x²-（a-$\frac{1}{2}$）x+c]|x|，
解得：a=$\frac{1}{2}$，
若命題q為假命題，則a≠$\frac{1}{2}$，
故滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）；
（2）由已知可得B=（-∞，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）；
∴∁_UB={$\frac{1}{2}$}，
若（∁_UB）?A，
則$\frac{1}{2}$∈A，
由x²+2x+b²+2=（x+1）²+b²+1≥b²+1，
∴$\frac{1}{{x}^{2}+2x+^{2}+2}$∈（0，$\frac{1}{^{2}+1}$]，
則$\frac{1}{^{2}+1}$≥$\frac{1}{2}$，
即b²+1≤2，
解得b∈[-1，1]

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，集合的包含關(guān)系，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是函數(shù)，集合與簡單邏輯的綜合應(yīng)用，難度中檔．