Question

如圖，在底面是正方形的四棱錐P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)是PC中點(diǎn)，G為AC上一點(diǎn)．

（1）求證：BD⊥FG；

（2）確定點(diǎn)G在線段AC上的位置，使FG//平面PBD，并說明理由．

（3）當(dāng)二面角B—PC—D的大小為時(shí)，求PC與底面ABCD所成角的正切值．

 

 

Answer 1

（1）見解析；

（2）當(dāng)G為EC中點(diǎn)，即AG=AC時(shí)，F(xiàn)G∥平面PBD．

（3）正切值是.

【解析】

試題分析：本題可有兩種思路，一是“幾何法”，二是“向量法”.

方法一：（1）先證得BD⊥平面APC ，得出BD⊥FG.

（2）注意題目中已有的中點(diǎn)及“等分點(diǎn)”，當(dāng)G為EC中點(diǎn)，連接PE，由F為PC中點(diǎn)，G為EC中點(diǎn)，知FG∥PE， 得到FG∥平面PBD．

（3）應(yīng)用“一作，二證，三計(jì)算”.

方法二：（1）以A為原點(diǎn)，AB，AD，PA所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

通過確定，

證得BD⊥FG；

（2）由，確定，， 得到，證得FG//平面PBD；

（3）由確定平面PBC的一個(gè)法向量為，得到，

同理可得平面PDC的一個(gè)法向量，設(shè)所成的角為，

由

進(jìn)一步確定PC與底面ABCD所成角的正切值是.

解答本題的關(guān)鍵是確定“垂直關(guān)系”，這也是難點(diǎn)所在，平時(shí)學(xué)習(xí)中，應(yīng)特別注意轉(zhuǎn)化意識(shí)的培養(yǎng)，能從“非規(guī)范幾何體”，探索得到建立空間直角坐標(biāo)系的條件.

方法一：（1）∵PA⊥面ABCD，四邊形ABCD是正方形，其對(duì)角線BD，AC交于點(diǎn)E

∴PA⊥BD，AC⊥BD， ∴BD⊥平面APC 2分

∵FG平面PAC，∴BD⊥FG 3分

（2）當(dāng)G為EC中點(diǎn)，即AG=AC時(shí)，F(xiàn)G∥平面PBD， 4分

連接PE，由F為PC中點(diǎn)，G為EC中點(diǎn)，知FG∥PE， 5分

而FG平面PBD，PB平面PBD，故FG∥平面PBD． 6分

（3）作BH⊥PC于H，連接DH，∵PA⊥面ABCD，四邊形ABCD是正方形，∴PB=PD，

又∵BC=DC，PC=PC，∴△PCB≌△PCD，∴DH⊥PC，且DH=BH，∴∠BHD是二面角B－PC－D的平面角．即 7分

∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC與底面ABCD所成的角 8分

連結(jié)EH，則，

而， 10分

11分

∴PC與底面ABCD所成角的正切值是 12分

方法二：（1）以A為原點(diǎn)，AB，AD，PA所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0）

D（0，1，0），P（0，0，a）（a>0）, 1分

∵， 2分

∴BD⊥FG 3分

（2）要使FG//平面PBD，只需FG//EP，而，由，可得：，解得，， 5分

，，故當(dāng)時(shí)，F(xiàn)G//平面PBD 6分

（3）設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為

則，而

，取，得， 8分

同理可得平面PDC的一個(gè)法向量，設(shè)所成的角為，

則

即 10分

∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC與底面ABCD所成的角，

∴PC與底面ABCD所成角的正切值是 12分

考點(diǎn)：平行關(guān)系，垂直關(guān)系，線面角的定義及計(jì)算，空間向量的應(yīng)用.