Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-3x+2，g（x）=2^x，設(shè)h（x）=f[g（x）]．
（1）求h（x）的解析式；
（2）求h（x）的減區(qū)間；
（3）求h（x）＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）由條件可得 h（x）=f[g（x）]=[g（x）]²-3g（x）+2=[g（x）-1]•[g（x）-2]，化簡可得結(jié)果．
（2）由條件求利用復合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律求得h（x）的減區(qū)間．
（3）令h（x）＜0，可得1＜2^x＜2，由此求得x的范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²-3x+2，g（x）=2^x，
∴h（x）=f[g（x）]=[g（x）]²-3g（x）+2=[g（x）-1]•[g（x）-2]=（2^x-1）•（2^x-2）．
（2）在（-∞，$\frac{3}{2}$）上，函數(shù)t=2^x是增函數(shù)，h（x）為減函數(shù)，故h（x）的減區(qū)間為（-∞，$\frac{3}{2}$）．
在[$\frac{3}{2}$，+∞）上，函數(shù)t=2^x是增函數(shù)，h（x）為增函數(shù)，故h（x）的增區(qū)間為[$\frac{3}{2}$，+∞）．
（3）令h（x）＜0，可得1＜2^x＜2，求得0＜x＜1，故h（x）＜0的解集為（0，1）．

點評 本題主要考查求復合函數(shù)的解析式，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，一元二次不等式、指數(shù)不等式的解法，屬于中檔題．