Question

3．已知圓M：x²+y²-2x=0及點(diǎn)A（0，t），B（0，t+6）（-5≤t≤-2），若圓M是三角形ABC的內(nèi)切圓，求三角形ABC的面積的最大值與最小值．

Answer 1

分析 由A（0，t），B（0，t+6）（-5≤t≤-2），設(shè)AC斜率為k₁，BC斜率為k₂，推出直線AC、直線BC的方程，求出△ABC的面積S的表達(dá)式，求出面積的最大值和最小值．

解答 解：設(shè)AC斜率為k₁，BC斜率為k₂，則直線AC的方程為y=k₁x+t，直線BC的方程為y=k₂x+t+6．
由方程組$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x+t}\\{y={k}_{2}x+t+6}\end{array}\right.$，得C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為${x}_{c}=\frac{6}{{k}_{1}-{k}_{2}}$，
∵|AB|=t+6-t=6，∴S=$\frac{1}{2}$|$\frac{6}{{k}_{1}-{k}_{2}}$|•6=$\frac{18}{{k}_{1}-{k}_{2}}$，
由于圓M與AC相切，∴$\frac{|{k}_{1}+t|}{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}}=1$，∴${k}_{1}=\frac{1-{t}^{2}}{2t}$；
同理，${k}_{2}=\frac{1-（t+6）^{2}}{2（t+6）}$，∴${k}_{1}-{k}_{2}=\frac{3（{t}^{2}+6t+1）}{{t}^{2}+6t}$，
∴S=$\frac{6（{t}^{2}+6t）}{{t}^{2}+6t+1}=6（1-\frac{1}{{t}^{2}+6t+1}）$，
∵-5≤t≤-2，∴-2≤t+3≤1，∴-8≤t²+6t+1≤-4，
∴${S}_{max}=6（1+\frac{1}{4}）=\frac{15}{2}$，${S}_{min}=6（1+\frac{1}{8}）=\frac{27}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，三角形面積的最值的求法，考查計(jì)算能力，是中檔題．