Question

3．設f（x）=-2x³+bx²+cx+d（其中b，c，d∈R），且當k＜-1或k＞4時，方程f（x）-k=0只有一個實根；當-1＜k＜4時，方程f（x）-k=0有三個相異實根．現(xiàn)給出下列四個命題：
①f（x）-5=0的任一實根大于f（x）+5=0的任一實根．
②f（x）+2=0的任一實根大于f（x）-2=0的任一實根．
③f（x）-4=0和f′（x）=0有一個相同的實根．
④f（x）=0和f′（x）=0有一個相同的實根．
其中正確的命題有②③．（請寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析 由已知中f（x）=-2x³+bx²+cx+d，當k＜-1或k＞4時，f（x）-k=0只有一個實根；當-1＜k＜4時，f（x）-k=0有三個相異實根，故函數(shù)即為極大值，又有極小值，且極大值為4，極小值為-1，分析出函數(shù)簡單的圖象和性質后，逐一分析四個結論的正誤，即可得到答案．

解答 解：∵f（x）=-2x³+bx²+cx+d，f′（x）=-6x²+2bx+c，
當k＜-1或k＞4時，f（x）-k=0只有一個實根；
當-1＜k＜4時，f（x）-k=0有三個相異實根，
故函數(shù)既有極大值，又有極小值，且極大值為4，極小值為-1，
函數(shù)f（x）的圖象先遞減再遞增再遞減，
畫出草圖，如圖示：
，
f（x）-5=0的任一實根小于f（x）+5=0的任一實根，故①錯誤；
f（x）+2=0的任一實根大于f（x）-2=0的任一實根，故②正確；
f（x）-4=0與f'（x）=0有一個相同的實根，即極大值點，故③正確；
f（x）=-1與f'（x）=-1有一個相同的實根，即極小值點，故④錯誤；
故答案為：②③．

點評 本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，其中根據(jù)已知條件，判斷出函數(shù)f（x）=-2x³+bx²+cx+d的圖象和性質是解答本題的關鍵．