Question

如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M為EC的中點，AF=AB=BC=FE=

1

2

AD
（I）求異面直線BF與DE所成的角的大��；
（II）證明平面AMD⊥平面CDE．

Answer 1

分析：（1）如圖所示，分別以AB、AD、AF為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．算出B、C、D、E、F、M各點的坐標(biāo)，從而得到

BF

、

DE

的坐標(biāo)，利用空間向量的夾角公式算出cos＜

BF

，

DE

＞的值，即得異面直線BF與DE所成的角的大��；
（2）利用數(shù)量積為零的兩個向量相互垂直，證出AM⊥CE且DM⊥CE，從而證出CE⊥平面AMD，結(jié)合面面垂直判定定理，即可證出平面AMD⊥平面CDE．

解答：解：分別以AB、AD、AF為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示
設(shè)AB=1，依題意得B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0）
E（0，1，1），F(xiàn)（0，0，1），M（

1

2

，1，

1

2

）
（ I）

BF

=（-1，0，1），

DE

=（0，-1，1）
∴

BF

•

DE

=-1×0+0×（-1）+1×1=1
|

BF

|=

(-1)2+02+12

=

2

，|

DE

|=

02+(-1)2+12

=

2

可得cos＜

BF

，

DE

＞=

BF • DE

| BF |•| DE |

=

1

2 × 2

=

1

2

∵＜

BF

，

DE

＞的范圍是[0，π]，∴＜

BF

，

DE

＞=

π

3

所以異面直線BF與DE所成的角的大小為

π

3

．
（ II）∵

AM

=（

1

2

，1，

1

2

），

CE

=（-1，0，1），
∴

AM

•

CE

=

1

2

×（-1）+1×0+

1

2

×1=0，得

AM

⊥

CE

，
同理可得：

DM

•

CE

=0，得

DM

⊥

CE

∵AM、DM是平面AMD內(nèi)的相交直線，∴CE⊥平面AMD
又∵CE?平面CDE，∴平面AMD⊥平面CDE．

點評：本題給出特殊五面體，求證面面垂直并求線線所成的角，著重考查了利用空間坐標(biāo)系解決異面直線所成角和證明面面垂直等知識點，屬于中檔題．