Question

數列中，a_n＞0，a_n≠1，且（n∈N^*）．
（1）證明：a_n≠a_n+1；
（2）若，計算a₂，a₃，a₄的值，并求出數列的通項公式；
（3）若a₁=a，求實數p（p≠0），使得數列成等比數列．

Answer 1

【答案】分析：（1）采用反證法證明，先假設a_n=a_n+1，代入化簡后，可求出a_n的值與a_n＞0，a_n≠1矛盾，所以假設錯誤，原結論正確；
（2）把n=1代入中，由a₁的值即可求出a₂的值，把n=2代入中，由a₂的值即可求出a₃的值，把n=4代入中，由a₃的值即可求出a₄的值，把已知的等式去分母后，在變形后的式子等號兩邊都除以3a_na_n+1，變形后得到數列是等比數列，找出首項和公比寫出此等比數列的通項公式，化簡后即可得到數列的通項公式a_n；
（3）設數列成等比數列，公比為q，根據等比數列的定義可知第n+1項與第n項的比值等于公比q，化簡后根據p不為0，利用多項式為0時，各項的系數都為0即可求出p與q的值．
解答：解：（1）若a_n=a_n+1，即，
得a_n=0或a_n=1與題設矛盾，
∴a_n≠a_n+1；
（2）由a₁=，令n=1得：a₂==，
令n=2得：a₃==，令n=3得：a₄==，
由，得，
∴數列是首項為，公比為的等比數列，
∴，得；
（3）設數列成等比數列，公比為q，
則，
即（2p-3q+3）a_n=3pq-p，
由p≠0，∴a_n不是常數列，
∴，，
此時，是公比為的等比數列．
點評：此題考查學生會利用反證法進行證明，掌握等比數列的確定方法，靈活運用等比數列的通項公式及數列的遞推式化簡求值，是一道中檔題．