Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x+1}$．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）對函數(shù)定義域內(nèi)每一個實數(shù)x，f（x）+$\frac{t}{x}$≥$\frac{2}{x+1}$恒成立．
（1）求t的最小值；
（2）證明不等式lnn＞$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}（n∈{N^*}$且n≥2）

Answer 1

分析 （I）利用導數(shù)的運算法則與幾何意義可得切線的斜率f′（1），再利用點斜式即可得出．
（II））（1）?x＞0，$f（x）+\frac{t}{x}≥\frac{2}{x+1}$恒成立，即$\frac{lnx}{x+1}+\frac{t}{x}≥\frac{2}{x+1}$，即$t≥\frac{2x-xlnx}{x+1}$．令$g（x）=\frac{2x-xlnx}{x+1}$，利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．
（2）由（1）知t=1時，$\frac{lnx}{x+1}+\frac{1}{x}≥\frac{2}{x+1}$恒成立，即$lnx≥1-\frac{1}{x}$，x=1取“=”．當n≥2時，令$x=\frac{n}{n-1}$，則$1-\frac{1}{x}=\frac{1}{n}$，可得$ln\frac{n}{n-1}＞\frac{1}{n}$．分別取值即可證明．

解答 解：（I）由題意x∈（0，+∞）且$f'（x）=\frac{{\frac{1}{x}（x+1）-lnx}}{{{{（x+1）}^2}}}=\frac{x+1-xlnx}{{x{{（x+1）}^2}}}$，
∴$f'（1）=\frac{2-0}{4}=\frac{1}{2}$，
又$f（1）=\frac{0}{2}=0$，
∴f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為$y-0=\frac{1}{2}（x-1）$，即x-2y-1=0．
（II）（1）解：?x＞0，$f（x）+\frac{t}{x}≥\frac{2}{x+1}$恒成立
即$\frac{lnx}{x+1}+\frac{t}{x}≥\frac{2}{x+1}$，
即$t≥\frac{2x-xlnx}{x+1}$…（5分）
令$g（x）=\frac{2x-xlnx}{x+1}$，$g'（x）=\frac{1-x-lnx}{{{{（x+1）}^2}}}$…（6分）
令g'（x）=0，則x=1
∴x∈（0，1）g'（x）＞0，g（x）為增函數(shù)．x∈（1，+∞）g'（x）＜0，g（x）為減函數(shù)…（8分）
∴g（x）_max=g（1）=1
∴t≥1，即t的最小值為1…（9分）
（2）證明：由①知t=1時，$\frac{lnx}{x+1}+\frac{1}{x}≥\frac{2}{x+1}$恒成立…（10分）
即$lnx≥1-\frac{1}{x}$，x=1取“=”
當n≥2時，令$x=\frac{n}{n-1}$，則$1-\frac{1}{x}=\frac{1}{n}$
∴$ln\frac{n}{n-1}＞\frac{1}{n}$…（12分）$ln\frac{2}{1}＞\frac{1}{2}$$ln\frac{3}{2}＞\frac{1}{3}$…$ln\frac{n}{n-1}＞\frac{1}{n}$
以上n-1個式子相加$ln2+ln\frac{3}{2}+…+ln\frac{n}{n-1}＞\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$
即$lnn＞\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$…（14分）

點評 本題考查了利用導數(shù)的運算法則幾何意義、切線方程、證明不等式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．