Question

【題目】設(shè)函數(shù)，.

（1）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)，方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論得到函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式，即可求解；

(2)由題意，設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)得，分類討論得到函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題意，得出不等式組，即可求解。

（1）由題意，函數(shù)，所以.

①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，故，不符合題意；

②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，故在上單調(diào)遞增.

欲使對(duì)任意的都成立，

則需，所以，解得.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

(2)設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的定義域是，

.

①當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.

方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)解，等價(jià)于函數(shù)在上有零點(diǎn)，

其必要條件是，即，所以.

而 ，所以，

②若，在上是減函數(shù)，，在上沒有零點(diǎn)；

③若，，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以在上有零點(diǎn)等價(jià)于 ，即，解得

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.