Question

7．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象在y軸上截距為0，它在y軸右側(cè)的第一個最大值點和最小值點分別為（x₀，$\frac{{-1+\sqrt{2}}}{2}$）；（x₀+π，$\frac{{-1-\sqrt{2}}}{2}$）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）+m|x+$\frac{3π}{4}}$|（m＞0）在[-$\frac{11π}{12}$，-$\frac{π}{2}$]上存在零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)求出A、B，由周期求出ω，由特殊點的坐標(biāo)求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（Ⅱ）由題意可得函數(shù)y=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx的圖象和函數(shù)y=m|x+$\frac{3π}{4}$|的圖象有交點，數(shù)形結(jié)合求得m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象在y軸上截距為0，
可得函數(shù)的圖象經(jīng)過點（0，0），
故Asinφ=0，∴φ=0．
根據(jù)它在y軸右側(cè)的第一個最大值點和最小值點
分別為（x₀，$\frac{{-1+\sqrt{2}}}{2}$）；（x₀+π，$\frac{{-1-\sqrt{2}}}{2}$），
可得$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=π，且B=$\frac{\frac{-1+\sqrt{2}}{2}+\frac{-1-\sqrt{2}}{2}}{2}$=-$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{-1+\sqrt{2}}{2}$-（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴ω=1，
∴函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）∵函數(shù)g（x）=f（x）+m|x+$\frac{3π}{4}}$|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$+m|x+$\frac{3π}{4}$|（m＞0）在[-$\frac{11π}{12}$，-$\frac{π}{2}$]上存在零點，
∴函數(shù)y=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx的圖象和函數(shù)y=m|x+$\frac{3π}{4}$|的圖象有交點．
∵sin（-$\frac{11π}{12}$）=-sin$\frac{11π}{12}$=-sin$\frac{π}{12}$=-$\sqrt{\frac{1-cos\frac{π}{6}}{2}}$=-$\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$，
在[-$\frac{11π}{12}$，-$\frac{π}{2}$]上，sinx∈[-1，-$\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$]，故 y=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx∈[$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$，$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$]．
設(shè)A（-$\frac{11π}{12}$，$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$）、B（-$\frac{π}{2}$，$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$）、C（-$\frac{3π}{4}$，0），
則y=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx的圖象（圖中紅色部分）經(jīng)過點A、B，由于函數(shù)y=m|x+$\frac{3π}{4}$|的圖象經(jīng)過點C．
由于直線CA的斜率為-$\frac{3+3\sqrt{3}}{2π}$，CB的斜率為2+2$\sqrt{2}$，
故m應(yīng)大于0，且m大于或等于CA、CB的斜率中絕對值較小的，
∴實數(shù)m的取值范圍為{m|m≥$\frac{3+3\sqrt{3}}{2π}$}．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的特征，由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)求出A、B，由周期求出ω，由特殊點的坐標(biāo)求出φ的值，屬于中檔題．