Question

（滿分14分）設(shè),在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量,向量,,動(dòng)點(diǎn)的軌跡為E．

   （1）求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀；

   （2）已知,證明:存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）,并求出該圓的方程；

   （3）已知,設(shè)直線與圓C:（1<R<2）相切于A₁,且與軌跡E只有一個(gè)公共點(diǎn)B₁,當(dāng)R為何值時(shí),|A₁B₁|取得最大值?并求最大值．

Answer 1

（1）略   （2）      （3）

解析:

（1）因?yàn)?img width=39 height=23 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/47/399447.gif" >,,,所以,即．當(dāng)m=0時(shí),方程表示兩直線,方程為；[來源:Z]當(dāng)時(shí), 方程表示的是圓；當(dāng)且時(shí),方程表示的是橢圓；當(dāng)時(shí),方程表示的是雙曲線．

   （2）當(dāng)時(shí), 軌跡E的方程為,設(shè)圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線為,解方程組得,即,

要使切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,

則使△=,

即,即,     且

,

要使,   需使,即,

所以,  即且,  即恒成立．

所以又因?yàn)橹本�為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為,, 所求的圓為．

當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),切線為,與

交于點(diǎn)或也滿足．

綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，

使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且．

   （3）當(dāng)時(shí),軌跡E的方程為,

設(shè)直線的方程為,因?yàn)橹本�與圓C:（1<R<2）相切于A₁,

由（2）知,  即    ①,

因?yàn)?img width=9 height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/89/399489.gif" >與軌跡E只有一個(gè)公共點(diǎn)B₁,由（2）知得,[來源:學(xué)科網(wǎng)]

即有唯一解，

則△=,   

即,     ②

由①②得,   此時(shí)A,B重合為B₁（x₁,y₁）點(diǎn),    

由 中,所以,,

B₁（x₁,y₁）點(diǎn)在橢圓上,所以,所以,

在直角三角形OA₁B₁中,

因?yàn)?img width=80 height=41 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/109/399509.gif" >當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以,

即當(dāng)時(shí)|A₁B₁|取得最大值,最大值為1．