Question

（本小題滿分10分）選修41：幾何證明選講

    如圖，相交于A、B兩點(diǎn)，AB是的直徑，過A點(diǎn)作的切線交于點(diǎn)E，并與BO₁的延長線交于點(diǎn)P，PB分別與、交于C，D兩點(diǎn)。

求證：（1）PA·PD=PE·PC；

      （2）AD=AE。

 

Answer 1

【答案】

見解析。

【解析】本試題主要是考查了平面幾何中圓內(nèi)的性質(zhì)和三角形相似的性質(zhì)的綜合運(yùn)用。

（1）由于利用題目總的切線和割線得到切割線定理的表達(dá)式，然后分析得到結(jié)論。

(2)結(jié)合第一問中的結(jié)論，以及圓的直徑的性質(zhì)，以及平行和垂直中包含角的相等關(guān)系，得到邊的相等。

（Ⅰ）分別是⊙的割線∴      ①      （2分）

又分別是⊙的切線和割線∴  ②     （4分）

由①，②得                                （5分）

（Ⅱ）連結(jié)、

      設(shè)與相交于點(diǎn)

∵是⊙的直徑

∴ 

∴是⊙的切線.  （6分）

由（Ⅰ）知，∴∥∴⊥,   （8分）

又∵是⊙的切線，∴

又，∴

∴                                                     （10分）