Question

15．設p：$\frac{m-2}{m-3}$≤$\frac{2}{3}$，q：關于x的不等式x²-4x+m²≤0的解集為∅，若p∧q為假，p∨q為真，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 求出命題的等價條件，結合p∧q為假，p∨q為真，進行求解即可．

解答 解：由$\frac{m-2}{m-3}$≤$\frac{2}{3}$，得$\frac{m-2}{m-3}$-$\frac{2}{3}$≤0，即$\frac{3（m-2）-2（m-3）}{3（m-3）}$=$\frac{m}{3（m-3）}≤0$，解得0≤m＜3，即p：0≤m＜3，
若關于x的不等式x²-4x+m²≤0的解集為∅，
則判別式△=16-4m²＜0，即m²＞4，解得m＞2或m＜-2，即q：m＞2或m＜-2，
若p∧q為假，p∨q為真，
則p，q為一假一真，
若p真q假，則$\left\{\begin{array}{l}{0≤m＜3}\\{-2≤m≤2}\end{array}\right.$解得0≤m≤2；
若q真p假，則$\left\{\begin{array}{l}{m＜0或m≥3}\\{m＞2或m＜-2}\end{array}\right.$，
解得m≥3或m＜-2，
綜上m≥3或m＜-2或0≤m≤2．

點評 本題主要考查復合命題之間的關系，求出命題的等價條件是解決本題的關鍵．