Question

如圖，在△ABC中，AB=4cm，AC=3cm，角平分線(xiàn)AD=2cm，求此三角形面積．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專(zhuān)題：解三角形

分析：設(shè)∠CAD=∠BAD=θ，由于AD是∠CAB的角平分線(xiàn)，可得

CD

DB

=

AC

AB

=

3

4

．設(shè)CD=3x，則DB=4x．在△ACD與△ADB中，分別利用余弦定理可得：

13-9x2

12

=

5-4x2

4

．解得x²．再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和倍角公式可得sin2θ，利用三角形的面積計(jì)算公式即可得出．．

解答： 解：設(shè)∠CAD=∠BAD=θ，∵AD是∠CAB的角平分線(xiàn)，∴

CD

DB

=

AC

AB

=

3

4

．
設(shè)CD=3x，則DB=4x．
在△ACD與△ADB中，分別利用余弦定理可得：
cosθ=

32+22-(3x)2

2×3×2

=

13-9x2

12

，cosθ=

42+22-(4x)2

2×4×2

=

5-4x2

4

．
∴

13-9x2

12

=

5-4x2

4

．
解得x2=

2

3

．
∴cosθ=

7

12

，∴sinθ=

1-cos2θ

=

95

12

．
sin2θ=2×

7

12

×

95

12

=

7 95

72

．
∴此三角形面積S=

1

2

×4×3×

7 95

72

=

7 95

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)、余弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和倍角公式、三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．