Question

若將（x+y+z）¹⁰展開為多項式，經(jīng)過合并同類項后它的項數(shù)是

 

．

Answer 1

考點：二項式系數(shù)的性質(zhì)

專題：計算題,二項式定理

分析：將（x+y+z）¹⁰展開合并同類項后，每一項都是 m•x^a•y^b•z^c 的形式，且a+b+c=10，其中，m是實數(shù)，a、b、c∈N．利用組合模型求解該問題，恰當構造分組模型．

解答： 解：對于這個式子，可以知道必定會有形如qx^ay^bz^c的式子出現(xiàn)，其中q∈R，a，b，c∈N
而且a+b+c=10，
構造13個完全一樣的小球模型，分成3組，每組至少一個，共有分法C₁₂²種，
每一組中都去掉一個小球的數(shù)目分別作為（x+y+z）¹⁰的展開式中每一項中x，y，z各字母的次數(shù)．
小球分組模型與各項的次數(shù)是一一對應的．
故（x+y+z）¹⁰的展開式中，合并同類項之后的項數(shù)為C₁₂²=66，
故答案為：66．

點評：本題主要考查了二項展開式的系數(shù)特征，考查構造法解決該問題，關鍵要構造一個適當?shù)慕M合模型，屬于中檔題．