Question

16．已知函數(shù)f（x）=|x-m|-2|x-1|（m∈R）
（1）當m=3時，求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）解關于x的不等式f（x）≥0．

Answer 1

分析 （1）通過令m=3，然后去絕對值符號，對于分段函數(shù)取最大值即可；
（2）通過對|x-m|≥2|x-1|兩邊平方，化簡得[x-（2-m）][3x-（2+m）]≤0，比較2-m與$\frac{2+m}{3}$的大小，分類討論即可．

解答 解：（1）當m=3時，f（x）=|x-3|-2|x-1|，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-1，}&{x≥3}\\{-3x+5，}&{1＜x＜3}\\{x+1，}&{x≤1}\end{array}\right.$，
∴當x=1時，函數(shù)f（x）的最大值f（1）=1+1=2；
（2）∵f（x）≥0，
∴|x-m|≥2|x-1|，
兩邊平方，化簡得[x-（2-m）][3x-（2+m）]≤0，
令2-m=$\frac{2+m}{3}$，解得m=1，
下面分情況討論：
①當m＞1時，不等式的解集為[2-m，$\frac{2+m}{3}$]；
②當m=1時，不等式的解集為{x|x=1}；
③當m＜1時，不等式的解集為[$\frac{2+m}{3}$，2-m]．

點評 本題考查函數(shù)的最值，涉及到解含有絕對值符號的不等式等知識，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．