Question

某游樂園為迎接建國60周年，特在今年年初用98萬元購進一批新的游樂器材供游客游玩．預計第一年包括維修費在內(nèi)需各種費用12萬元，從第二年開始每年所需費用均比前一年增加4萬元，這些玩具每年總收入預計為50萬元，若干年后，若有兩種處理方案：①當盈利總額達到最大時，以8萬元的價格全部賣出；②當年平均盈利達到最大值時，以26萬元的價格全部賣出．
（Ⅰ）分別寫出經(jīng)過x年后方案①中盈利總額y₁和方案②中年平均盈利y₂關于x 的函數(shù)關系式
（Ⅱ）問哪一種方案較為劃算？請說明理由？

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應用,函數(shù)模型的選擇與應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：根據(jù)題意得出x年后所需各種費用的總和為12x+

x(x-1)

2

×4=2x²+10x，
y₂=

50x-98-(2x2+10x)

x

=-2（x+

49

x

）+40＜12，利用基本不等式求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）設經(jīng)過x年后，方案①中盈利總額為y₁，方案②中年平均盈利為y₂．
則x年后所需各種費用的總和為12x+

x(x-1)

2

×4=2x²+10x，
∴y₁=50x-98-（2x²+10x）=-2x²+40x-9=-2（x-10）²+102，
∵x＞0，∴x=10時總利潤最大為102萬元，總收入為102x+8=110萬元．
y₂=

50x-98-(2x2+10x)

x

=-2（x+

49

x

）+40＜12，
∴當且僅當x=7時取等號，即年平均利潤最大為12萬元．
∴x=7時總利潤為7×12=84萬元，總收入為84+26=110萬元．
（Ⅱ）故由于方案①是10年獲利110萬元，而方案②是7年獲利110萬元，
即方案②劃算．

點評：本題考查了函數(shù)的實際應用，不等式的運用，關鍵是理解題意，列出函數(shù)關系式．