Question

已知橢圓C：

x2

a2

+y2=1經(jīng)過點P（1，

2

2

）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程及其離心率；
（Ⅱ）過橢圓右焦點F的直線（不經(jīng)過點P）與橢圓交于A、B兩點，當∠APB的平分線為PF時，求直線AB的斜率k．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用橢圓C：

x2

a2

+y2=1經(jīng)過點P（1，

2

2

），求出a，可得求橢圓C的方程及其離心率；
（Ⅱ）記PA、PB的斜率分別為k₁、k₂．所以，PA、PB的斜率滿足k₁+k₂=0，設(shè)直線AB方程為y=k（x-1），代入橢圓方程，利用韋達定理進行計算，即可求直線AB的斜率k．

解答： 解：（Ⅰ）把點P(1 ，

2

2

)代入

x2

a2

+y2=1，可得a²=2．
故橢圓的方程為

x2

2

+y2=1，
所以c=1，橢圓的離心率為e=

1

2

．　…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：F（1，0）．
當∠APB的平分線為PF時，由P(1 ，

2

2

)和F（1，0）知：PF⊥x軸．
記PA、PB的斜率分別為k₁、k₂．所以，PA、PB的斜率滿足k₁+k₂=0…（6分）
設(shè)直線AB方程為y=k（x-1），代入橢圓方程

x2

2

+y2=1并整理可得，（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2(k2-1)

1+2k2

又P(1 ，

2

2

)，則k1=

2 2 -y1

1-x1

 =

2 2 -k(x1-1)

1-x1

=

2 2

1-x1

+k，k2=

2 2 -y2

1-x2

=

2 2 -k(x2-1)

1-x2

=

2 2

1-x2

+k．…（8分）
所以k₁+k₂=

2 2 -y1

1-x1

 +

2 2 -y2

1-x2

=

y1

x1-1

+

y2

x2-1

-

2

2

•

x1+x2-2

x1x2-(x1+x2)+1

=2k-

2

2

•

4k2 1+2k2 -2

2(k2-1) 1+2k2 - 4k2 1+2k2 +1

=2k-

2

…（11分）
即2k-

2

=0．
所以k=

2

2

．             …（13分）

點評：本題考查橢圓的基本知識，直線和橢圓的位置關(guān)系等知識點，解題時要認真審題，仔細解答，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．