Question

20. （本題滿分16分）集合A是由具備下列性質(zhì)的函數(shù)組成的：

（1）函數(shù)的定義域是；

（2）函數(shù)的值域是；

（3）函數(shù)在上是增函數(shù)．試分別探究下列兩小題：

（Ⅰ）判斷函數(shù)，及是否屬于集合A？并證明．

（Ⅱ）對于（Ⅰ）中你認為屬于集合A的函數(shù)，不等式是否對于任意的總成立？若不成立，為什么？若成立，請證明你的結(jié)論．

Answer 1

（Ⅰ）不屬于集合A，屬于集合A；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）只需驗證函數(shù)是否滿足3個條件即可，因為為上是增函數(shù)，所以的值域是，不滿足（2），不屬于集合A（或舉反例，如，不滿足（2））；的定義域是，又為定義域上的增函數(shù)，所以函數(shù)的值域是，滿足條件（1）（2）（3），所以屬于集合A；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以所以不等式對于任意的總成立．

試題解析：（Ⅰ）因為為上是增函數(shù)，所以的值域是，函數(shù)不屬于集合A．（或，不滿足條件）

在集合A中，因為：函數(shù)的定義域是；易知函數(shù)在上是增函數(shù)，所以函數(shù)的值域是，滿足條件（1）（2）（3）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

，

對于任意的總成立．

考點：（Ⅰ）函數(shù)的基本性質(zhì)；（Ⅱ）不等式證明.