Question

　　已知拋物線的焦點為F，準線為l，是否存在雙曲線C，同時滿足以下兩個條件：

　　(Ⅰ)雙曲線C的一個焦點為F，相應(yīng)于F的準線為l；

　　(Ⅱ)雙曲線C截與直線x－y＝0垂直的直線所得線段AB的長為2，并且線段AB的中點恰好在直線x－y＝0上．

若存在，求出該雙曲線C的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

本小題主要考查直線與圓錐曲線的有關(guān)知識，以及綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力． 　　解：假設(shè)滿足題意的雙曲線C存在，并設(shè)其離心率為e，AB的中點坐標為(a，a)，點A的坐標為，則點B的坐標為(2a－，2a－)． 　　∵直線AB的斜率＝－1，且|AB|＝ 　　∴ 　　由此解得 　　 　　不失一般性，取A(a－1，a＋1)，B(a＋1，a－1)． 　　由于F(0，0)和l：x＝－1是對應(yīng)的焦點和準線， 　　 　　解之，得a＝－1，e＝2． 　　故滿足題意的雙曲線存在，其方程為 　　＝2，即＋8x＋4＝0．