Question

已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)－x，g(x)=xlnx.

（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的最大值；

（Ⅱ）設(shè)0<a<b,證明0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.

Answer 1

本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)和應(yīng)用、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)和平均值不等式等知識以及綜合推理論證的能力，滿分14分.

    （Ⅰ）解：函數(shù)的定義域為.

       令

    當(dāng)    當(dāng)  又

    故當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，取得最大值，最大值為0.

   （Ⅱ）證法一：

               

由（Ⅰ）結(jié)論知

由題設(shè) 

因此 

     

所以 

又

綜上 

證法二：

設(shè)  

則 

當(dāng)  在此內(nèi)為減函數(shù).

當(dāng)上為增函數(shù).

從而，當(dāng)有極小值

因此    即 

設(shè)    則

當(dāng)   因此上為減函數(shù).

因為

即