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設(shè)P是△ABC內(nèi)一點，△ABC三邊上的高分別為hA、hB、hC，P到三邊的距離依次為la、lb、lc，則有
la
hA
+
lb
hB
+
lc
hC
=1；類比到空間，設(shè)P是四面體ABCD內(nèi)一點，四頂點到對面的距離分別是hA、hB、hC、hD，P到這四個面的距離依次是la、lb、lc、ld，則有
la
hA
+
lb
hB
+
lc
hC
+
ld
hD
=1
la
hA
+
lb
hB
+
lc
hC
+
ld
hD
=1
．
分析：在平面中利用面積分割法，結(jié)合三角形面積公式證出
la
hA
+
lb
hB
+
lc
hC
=1，結(jié)論成立．依此可得當P為四面體ABCD內(nèi)一點時，利用體積分割法和錐體的體積公式，類似于平面中結(jié)論的證明方法可得
la
hA
+
lb
hB
+
lc
hC
+
ld
hD
=1，得到本題答案．
解答：解：如圖，連結(jié)PA、PB、PC，可得
S△ABP+S△BCP+S△CAP=S△ABC，
即
1
2
AB×lc+
1
2
BC×la+
1
2
CA×lb=S△ABC，…（1）
∵S△ABC=
1
2
AB×hC=
1
2
BC×hA=
1
2
CA×hB
∴在（1）式的兩邊都除以S△ABC，得
lc
h C
+
la
h A
+
lb
h B
=1
即
la
hA
+
lb
hB
+
lc
hC
=1，即平面內(nèi)的結(jié)論成立
當P為四面體ABCD內(nèi)一點時，VP-BCD+VP-CDA+VP-ABD+VP-ABC=VD-ABC，
兩邊都除以VD-ABC，得
VP-BCD
VD-ABC
+
VP-CDA
VD-ABC
+
VP-ABD
VD-ABC
+
VP-ABC
VD-ABC
=1
類似平面中結(jié)論證明的方法，可得
la
hA
+
lb
hB
+
lc
hC
+
ld
hD
=1
故答案為：
la
hA
+
lb
hB
+
lc
hC
+
ld
hD
=1
點評：本題給出三角形ABC內(nèi)一點P滿足的等式，要求給出空間四面體的一個類似結(jié)論．著重考查了三角形面積公式、錐體的體積公式和類比推理的一般方法等知識，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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設(shè)P是△ABC內(nèi)一點，△ABC三邊上的高分別為hA、hB、hC，P到三邊的距離依次為la、lb、lc，則有＋＋＝______；類比到空間，設(shè)P是四面體ABCD內(nèi)一點，四頂點到對面的距離分別是hA、hB、hC、hD，P到這四個面的距離依次是la、lb、lc、ld，則有________

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)P是△ABC內(nèi)一點，三個頂點到對邊的距離分別為hA,hB,hC，P到對應(yīng)三邊的距離依次為lA,lB,lC,則有=______________；類比到空間，設(shè)P為四面體ABCD內(nèi)一點，四個頂點到對面的距離分別是hA,hB,hC,hD，P到這四個面的距離依次是lA,lB,lC,lD，則有______________.

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設(shè)P是△ABC內(nèi)一點，△ABC三邊上的高分別為hA、hB、hC，P到三邊的距離依次為la、lb、lc，則有++=1；類比到空間，設(shè)P是四面體ABCD內(nèi)一點，四頂點到對面的距離分別是hA、hB、hC、hD，P到這四個面的距離依次是la、lb、lc、ld，則有    ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：0108 模擬題 題型：填空題

設(shè)P是△ABC內(nèi)一點，三個頂點到對邊的距離分別為hA、hB、hC，P到對應(yīng)三邊的距離依次為la、lb、lc，則有（    ）；類比到空間，設(shè)P為四面體ABCD內(nèi)一點，四個頂點到對面的距離分別是hA、hB、hC、hD，P 到這四個面的距離依次是la、lb、lc、ld，則有（    ）。

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