Question

已知點A（-1，0），B（1，0）及拋物線y²=2x，若拋物線上點P滿足|PA|=m|PB|，則m的最大值為

 

．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設P（x，y），則y²=2x，由題意可得，x＞0時，m²=

|PA|2

|PB|2

=

(x+1)2+y2

(x-1)2+y2

=

x2+1+4x

x2+1

=1+

4

x+ 1 x

，利用基本不等式可得結論．

解答： 解：設P（x，y），則y²=2x，
由題意可得，x＞0時，m²=

|PA|2

|PB|2

=

(x+1)2+y2

(x-1)2+y2

=

x2+1+4x

x2+1

=1+

4

x+ 1 x

，
∵x＞0，∴x+

1

x

≥2
∴1+

4

x+ 1 x

≤3，∴m≤

3

，當且僅當x=1時，等號成立；
x=0時，m=1，
∴m的最大值為

3

．
故答案為：

3

．

點評：本題考查拋物線的標準方程，以及簡單性質(zhì)，基本不等式的應用，屬于中檔題．