Question

15．曲線(xiàn)C：y=2sinx在x=$\frac{π}{6}$和x=x₀處的切線(xiàn)互相垂直，將曲線(xiàn)C的圖象向左平移$\frac{π}{2}$+φ個(gè)單位后所得的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=x₀對(duì)稱(chēng)，則cos2φ的值為-$\frac{5}{6}$．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，建立條件方程求出cosx₀=$-\frac{\sqrt{3}}{6}$，然后結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換關(guān)系，以及三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求出φ與x₀的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)的倍角公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：y=2sinx的導(dǎo)數(shù)f′（x）=2cosx，
則f′（$\frac{π}{6}$）=2cos$\frac{π}{6}$=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∵y=2sinx在x=$\frac{π}{6}$和x=x₀處的切線(xiàn)互相垂直，
∴f′（$\frac{π}{6}$）f′（x₀）=-1，
即$\sqrt{3}$f′（x₀）=-1，
則f′（x₀）=-$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由f′（x₀）=2cosx₀=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$，
則cosx₀=$-\frac{\sqrt{3}}{6}$，
將曲線(xiàn)C的圖象向左平移$\frac{π}{2}$+φ個(gè)單位后得到y(tǒng)=2sin（x+$\frac{π}{2}$+φ）=2cos（x+φ），
若y=2cos（x+φ）關(guān)于x=x₀對(duì)稱(chēng)，
則x₀+φ=kπ，k∈Z，
即φ=kπ-x₀，k∈Z
則cos2φ=cos（2kπ-2x₀）=cos2x₀=2cos²x₀-1=2•（$-\frac{\sqrt{3}}{6}$）²-1=2×$\frac{3}{36}$-1=$\frac{1}{6}-1=-$$\frac{5}{6}$，
故答案為：-$\frac{5}{6}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)值的計(jì)算以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程關(guān)系以及利用三角函數(shù)的圖象變換以及三角函數(shù)的倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查學(xué)生的運(yùn)算能力．