Question

21．設(shè)x=3是函數(shù)f(x)=(x²+ax+b)e^3-x(x∈R)的一個(gè)極值點(diǎn)。

  （Ⅰ）求a與b的關(guān)系式（用a表示b），并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

  （Ⅱ）設(shè)＞0，使得＜1成立，求a的取值范圍。

Answer 1

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。

解：（Ⅰ）f’(x)＝－[x²＋(a－2)x＋b－a ]e^3－x,

由f’ (3)=0，得 －[3²＋(a－2)3＋b－a ]e^3－3＝0，即得b＝－3－2a，

則 f’ (x)＝[x²＋(a－2)x－3－2a－a ]e^3－x

＝－[x²＋(a－2)x－3－3a ]e^3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e^3－x.

令f’(x)＝0，得x₁＝3或x₂＝－a－1，由于x＝3是極值點(diǎn)，

所以x+a+1≠0，那么a≠－4.

當(dāng)a<－4時(shí)，x₂>3＝x₁，則

在區(qū)間（－∞，3）上，f'(x)<0， f (x)為減函數(shù)；

在區(qū)間（3，―a―1）上，f'(x)>0，f (x)為增函數(shù)；

在區(qū)間（―a―1，＋∞）上，f'(x)<0，f (x)為減函數(shù)。

當(dāng)a>－4時(shí)，x₂<3＝x₁，則

在區(qū)間（－∞，―a―1）上，f'(x)<0， f (x)為減函數(shù)；

在區(qū)間（―a―1，3）上，f'(x)>0，f (x)為增函數(shù)；

在區(qū)間（3，＋∞）上，f'(x)<0，f (x)為減函數(shù)。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)a>0時(shí)，f (x)在區(qū)間（0，3）上的單調(diào)遞增，在區(qū)間（3，4）上單調(diào)遞減，那么f (x)在區(qū)間[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，

而f (0)＝－（2a＋3）e³<0，f (4)＝（2a＋13）e^－1>0，f (3)＝a＋6，

那么f (x)在區(qū)間[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e³，a＋6].

又在區(qū)間[0，4]上是增函數(shù)，

且它在區(qū)間[0，4]上的值域是[a²＋，（a²＋）e⁴]，

由于（a²＋）－（a＋6）＝a²－a＋＝（）²≥0，所以只須僅須

（a²＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0<a<.

故a的取值范圍是（0，）。