Question

17．已知f（x）=2sin$\frac{π}{2}$x，集合M={x||f（x）|=2，x＞0}，把M中的元素從小到大依次排成一列，得到數(shù)列{a_n}，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記b_n=$\frac{1}{{{{a}^{2}}_{n+1}}^{\;}}$，設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證T_n＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步利用放縮法和裂項(xiàng)相消法求出結(jié)果．

解答 解：（1）f（x）=2sin$\frac{π}{2}$x，集合M={x||f（x）|=2，x＞0}，
則：$\frac{π}{2}x=kπ+\frac{π}{2}$
解得：x=2k+1（k∈Z），
所以M={x|x=2k+1，k∈Z}
把M中的元素從小到大依次排成一列，得到數(shù)列{a_n}，
∵M(jìn)={1，3，5，…，2k+1}，k∈Z，
所以：a_n=2n-1．
證明：（2）記b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，
$_{n}=\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}=\frac{1}{（2n+1）^{2}}$$＜\frac{1}{4{n}^{2}+4n}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
所以：T_n=b₁+b₂+…+b_n$＜\frac{1}{4}（1-\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$$＜\frac{1}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，利用裂項(xiàng)相消法和放縮法求數(shù)列的和．