Question

20．在如圖所示的幾何體中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=60°，EA⊥平面ABCD，EA∥BF，EA=2BF=2，G為CE的中點(diǎn)，直線AC與BD相交于點(diǎn)O
（1）求證：FG⊥平面EAC；
（2）求二面角B-DE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OG，推導(dǎo)出四邊形BFGO是平行四邊形，從而FG∥BO，由此能證明FG⊥平面EAC．
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BDE的法向量和平面DEC的法向量，利用向量法能求出二面角B-DE-C的余弦值．

解答 （1）證明：連結(jié)OG，∵G為CE的中點(diǎn)，直線AC與BD相交于點(diǎn)O，底面ABCD是邊長為2的菱形，
∴O是AC中點(diǎn)，且OG$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}EA$，
∵EA∥BF，EA=2BF=2，
∴BF$\underset{∥}{=}$OG，∴四邊形BFGO是平行四邊形，∴FG∥BO，
∵ABCD是邊長為2的菱形，∴BO⊥AC，
∵EA⊥平面ABCD，BO?平面ABCD，∴BO⊥EA，
∵EA∩AC=A，∴BO⊥平面PAC，
∴FG⊥平面EAC．
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，Og為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由已知得B（$\sqrt{3}$，0，0），D（-$\sqrt{3}$，0，0），E（0，-1，2），C（0，1，0），
$\overrightarrow{DB}$=（2$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{DE}$=（$\sqrt{3}，-1，2$），$\overrightarrow{DC}$=（$\sqrt{3}$，1，0），
設(shè)平面BDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2\sqrt{3}x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=\sqrt{3}x-y+2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，2，1），
設(shè)平面DEC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=\sqrt{3}a-b+2c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=\sqrt{3}a+b=0}\end{array}\right.$，取a=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，-3，-3），
設(shè)二面角B-DE-C的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-9}{\sqrt{5}•\sqrt{21}}$|=$\frac{3\sqrt{105}}{35}$．
∴二面角B-DE-C的余弦值為$\frac{3\sqrt{105}}{35}$．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運(yùn)用，注意向量法的靈活運(yùn)用．