Question

已知拋物線（）焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，以、為焦點(diǎn)，離心率為的橢圓與拋物線在軸上方的一個(gè)交點(diǎn)為．

（1）當(dāng)時(shí)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其右準(zhǔn)線的方程；

（2）用表示P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實(shí)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

(1)   (2)  (3) 存在實(shí)數(shù)m使的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)

解析:

∵的右焦點(diǎn)   ∴橢圓的半焦距，又，∴橢圓的長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)，短半軸的長(zhǎng).  橢圓方程為. ------4分

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，故橢圓方程為-------5分

(直接將m=1的值代入條件求對(duì)也給5分)

右準(zhǔn)線方程為：. ---------------6分

（Ⅱ）由，解得：…………10分

（Ⅲ）假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)， 由（Ⅱ）知

∴，，又.

即的邊長(zhǎng)分別是、、 .    ---------------14分

∴，

故存在實(shí)數(shù)m使的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)。---------------16分