Question

在以O(shè)為原點的直角坐標(biāo)系中，點A（4，-3）為△OAB的直角頂點，已知|AB|=2|OA|，且點B的縱坐標(biāo)大于0．
（Ⅰ）求

AB

的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求圓x²-6x+y²+2y=0關(guān)于直線OB對稱的圓的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出要求的向量的坐標(biāo)，根據(jù)所給的模長的關(guān)系和直角三角形兩條直角邊垂直的關(guān)系，寫出關(guān)于向量坐標(biāo)的關(guān)系式，解方程，舍去不合題意的結(jié)果，得到向量的坐標(biāo)．
（2）要求圓關(guān)于直線的對稱圓，只要求出圓心關(guān)于直線的對稱點即可，本題需要先根據(jù)向量的坐標(biāo)求出點B的坐標(biāo)，從而求出直線的方程，通過計算得到結(jié)果．

解答：解：（1）設(shè)

AB

={u，v}，
則由|

AB

|=2|

OA

|，

AB

•

OA

=0
即

u2+v2=100 4u-3v=0

得

u=6 v=8

，或

u=-6 v=-8

．
∵

OB

=

OA

+

AB

={u+4，v-3}，
∴v-3＞0，
得v=8，
∴

AB

={6，8}；
（2）由

OB

={10，5}，得B（10，5），
于是直線OB方程：y=

1

2

x．
由條件可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-3）²+（y+1）²=10，
得圓心（3，-1），半徑為

10

．
設(shè)圓心（3，-1）關(guān)于直線OB的對稱點為（x，y）
則

x+3 2 -2• y-1 2 =0 y+1 x-3 =-2

，
得

x=1 y=3

，
∴所求圓的方程為（x-1）²+（y-3）²=10．

點評：本題是近幾年高考常考的問題，向量是數(shù)形結(jié)合的典型例子，向量的加減運算是用向量解決問題的基礎(chǔ)，要學(xué)好運算，才能用向量解決立體幾何問題，三角函數(shù)問題，好多問題都是以向量為載體的．