Question

橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸，它的短軸長為2，過焦點(diǎn)與x軸垂直的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)且|AB|=1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過定點(diǎn)N（1，0）的直線l交橢圓C于C、D兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)P，若

PC

=λ 1

CN

，

PD

=λ2

DN

，求證：λ₁+λ₂為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出橢圓方程，表示出通徑，由其長等于1，結(jié)合2b=2，求解a，b的值，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；
（Ⅱ）設(shè)出直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系得到兩交點(diǎn)C，D的縱坐標(biāo)的和與積，結(jié)合

PC

=λ 1

CN

，

PD

=λ2

DN

，求解答案．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1．
令x=-c，代入橢圓方程得，y=±

b2

a

．
所以2×

b2

a

=1，2b=2，
解得a=2，b=1．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為x=my-1，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

1

m

）
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
聯(lián)立直線與橢圓的方程

x=my-1 x2 4 +y2=1

，得（m²+4）y²-2my-3=0，
∴y₁+y₂=

2m

m2+4

，y₁y₂=

-3

m2+4

又∵

PC

=λ 1

CN

，

PD

=λ2

DN

，
∴λ₁=

1 m -y1

y1

，λ₂=

1 m -y2

y2

，
∴λ₁+λ₂=

1 m -y1

y1

+

1 m -y2

y2

=

1

my1

+

1

my2

-2=

y1+y2

my1y2

-2=-

2

3

-2=-

8

3

即λ₁+λ₂為定值

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與圓錐曲線的綜合問題，橢圓的簡單性質(zhì)，是高考的壓軸題型，綜合能力強(qiáng)，運(yùn)算量大，屬于難題．