Question

20．函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y∈R，都有f（x）+f（y）=2f（x²-y²），且f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)．
（1）求證：f（x）為偶函數(shù)；
（2）若f（a-2）-f（4-a）＜0，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）以-x代替x，即可證明f（x）為偶函數(shù)；
（2）若f（a-2）-f（4-a）＜0，利用f（x）為偶函數(shù)，f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，可得|a-2|＜|4-a|，即可求a的取值范圍．

解答 （1）證明：以-x代替x，可得f（-x）+f（y）=2f[（-x）²-y²]=2f（x²-y²）=f（x）+f（y），
∴f（-x）=f（x），
∴f（x）為偶函數(shù)；
（2）解：∵f（a-2）-f（4-a）＜0，
∴f（a-2）＜f（4-a），
∵f（x）為偶函數(shù)，f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
∴|a-2|＜|4-a|，
∴a＜3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查學(xué)生解不等式的能力，屬于中檔題．