Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx+a}{（e+1）x}$在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線y=3平行．
（Ⅰ）求函數(shù)的f（x）極值；
（Ⅱ）求證：當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）（x+1）＞$\frac{2{e}^{x-1}}{x{e}^{x}+1}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（1）=0，可得a=1，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）不等式 f（x）（x+1）＞$\frac{2{e}^{x-1}}{x{e}^{x}+1}$，即為 $\frac{1}{e+1}$•$\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}$＞$\frac{2{e}^{x-1}}{x{e}^{x}+1}$，令g（x）=$\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}$，通過(guò)導(dǎo)數(shù)，求得 $\frac{g（x）}{e+1}$＞$\frac{2}{e+1}$，令h（x）=$\frac{2{e}^{x-1}}{x{e}^{x}+1}$，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證得h（x）＜h（1）=$\frac{2}{e+1}$，原不等式即可得證．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{lnx+a}{（e+1）x}$，
f′（x）=$\frac{（e+1）（1-lnx-a）}{{[（e+1）x]}^{2}}$，
若函數(shù)f（x）=$\frac{lnx+a}{（e+1）x}$在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線y=3平行，
則f′（1）=0，即1-ln1-a=0，解得：a=1，
故f（x）=$\frac{lnx+1}{（e+1）x}$，f′（x）=$\frac{-lnx}{（e+1{）x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，即lnx＜0，解得：0＜x＜1，
令f′（x）＜0，即lnx＞0，解得：x＞1，
故f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
f（x）_極大值=f（1）=$\frac{1}{e+1}$，無(wú)最小值；
（Ⅱ）證明：不等式 f（x）（x+1）＞$\frac{2{e}^{x-1}}{x{e}^{x}+1}$，
即為$\frac{1}{e+1}$•$\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}$＞$\frac{2{e}^{x-1}}{x{e}^{x}+1}$，
令g（x）=$\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}$，則g′（x）=$\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$，
再令φ（x）=x-lnx，則φ′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
∵x＞1∴φ′（x）＞0，φ（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴φ（x）＞φ（1）=1＞0，g′（x）＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴x＞1時(shí)，g（x）＞g（1）=2   
故 $\frac{g（x）}{e+1}$＞$\frac{2}{e+1}$，
令h（x）=$\frac{2{e}^{x-1}}{x{e}^{x}+1}$，則h′（x）=$\frac{{2e}^{x-1}（1{-e}^{x}）}{{（{xe}^{x}+1）}^{2}}$，
∵x＞1∴1-e^x＜0，h′（x）＜0，即h（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)．
∴x＞1時(shí)，h（x）＜h（1）=$\frac{2}{e+1}$，
所以$\frac{g（x）}{e+1}$＞h（x），即f（x）（x+1）＞$\frac{2{e}^{x-1}}{x{e}^{x}+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率、單調(diào)區(qū)間和極值，同時(shí)考查構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，運(yùn)用單調(diào)性證明不等式，屬于中檔題．