Question

求與橢圓＋＝1相交于A、B兩點，且點M(1，1)恰為弦AB的中點的直線方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：方法一　顯然，AB與x軸不垂直，設(shè)它的方程為y－l＝k(x－1)，代入橢圓方程，得(9k2＋4)x2－(18k2－18k)x＋9k2－18k－27＝0．依題意，k須滿足 　　∴k＝－，故所求直線方程為y＝－(x－1)＋1，即4x＋9y－13＝0為所求． 　　方法二　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，顯然x1≠x2．因為A、B都在橢圓上，所以有＋＝1�、�，＋＝1　②，＝l�、�，＝1　④． 　�、伲�②得＋＝0�、� 　�、邸ⅱ艽�入⑤得＝－， 　　即　kAB＝－， 　　所以所求直線方程為y－1＝－(x－1)， 　　即4x＋9y－13＝0． 　　分析：該題是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中常見的“中點法”問題，下面提供解法兩種，大家比較一下它們的優(yōu)劣． 　　點評：方法一思路直接，通過直線的點斜式方程，利用中點公式和韋達(dá)定理求出斜率，達(dá)到目的．方法二先設(shè)出交點坐標(biāo)(設(shè)而不求)，然后代入橢圓方程作差，巧妙地用到了已知條件并求出了直線的斜率，運算量比方法一要少得多，大家要掌握這一技巧．