Question

已知橢圓C:+=1(a>b>0)的焦距為4,且過(guò)點(diǎn)P(,).
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)Q(x₀,y₀)(x₀y₀≠0)為橢圓C上一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)Q作x軸的垂線,垂足為E.取點(diǎn)A(0,2),連接AE,過(guò)點(diǎn)A作AE的垂線交x軸于點(diǎn)D.點(diǎn)G是點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn),作直線QG,問(wèn)這樣作出的直線QG是否與橢圓C一定有唯一的公共點(diǎn)?并說(shuō)明理由.

Answer 1

(1) +=1   (2) 直線QG與橢圓C一定有唯一的公共點(diǎn)，理由見解析

解析解:(1)因?yàn)榻咕酁?,
所以a²-b²=4.
又因?yàn)闄E圓C過(guò)點(diǎn)P(,),
所以+=1,
故a²=8,b²=4,
從而橢圓C的方程為+=1.
(2)一定有唯一的公共點(diǎn).
由題意,E點(diǎn)坐標(biāo)為(x₀,0).
設(shè)D(x_D,0),則=(x₀,-2),=(x_D,-2).
再由AD⊥AE知, ·=0,
即x_Dx₀+8=0.
由于x₀y₀≠0,故x_D=-.
因?yàn)辄c(diǎn)G是點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn),所以點(diǎn)G（,0）.
故直線QG的斜率k_QG==.
又因Q(x₀,y₀)在橢圓C上,
所以+2=8.①
從而k_QG=-.
故直線QG的方程為
y=-（x-）.②
將②代入橢圓C方程,得
(+2)x²-16x₀x+64-16=0.③
再將①代入③,化簡(jiǎn)得
x²-2x₀x+=0.
解得x=x₀,y=y₀,
即直線QG與橢圓C一定有唯一的公共點(diǎn).