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若曲線C₁：y=ax²（a＞0）與曲線C₂：y=e^x存在公共切線，則a的取值范圍為（　�。�

A、[

，+∞)

B、(0，

]

C、[

，+∞）

D、(0，

]

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：求出兩個函數(shù)的導函數(shù)，由導函數(shù)相等列方程，再由方程有根轉化為兩函數(shù)圖象有交點求得a的范圍．

解答： 解：由y=ax²（a＞0），得y′=2ax，
由y=e^x，得y′=e^x，
∵曲線C₁：y=ax²（a＞0）與曲線C₂：y=e^x存在公共切線，則
設公切線與曲線C₁切于點（x1，ax12），與曲線C₂切于點（x2，ex2），
則2ax1=ex2=

ex2-ax12

x2-x1

，將ex2=2ax1代入2ax1=

ex2-ax12

x2-x1

，可得2x₂=x₁+2，
∴a=

2x1

，記f(x)=

，
則f′(x)=

+1(x-2)

4x2

，當x∈（0，2）時，f′（x）＜0．
∴當x=2時，f(x)min=

．
∴a的范圍是[

，+∞）．
故選：C．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了方程有根的條件，是中檔題．

練習冊系列答案

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球O的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點，AB=2，∠ASC=∠BSC=

，則棱錐A-SBC的體積為（　�。�

A、

B、

C、

D、

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已知函數(shù)f（x）=x+

有如下性質，如果常數(shù)a＞0，那么該函數(shù)在（0，

]上是減函數(shù)，在[

，+∞)，上是增函數(shù)．寫出f（x）=x+

，（x＞0）的減區(qū)間，并用定義證明．

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定義式子運算為

a1	a2
a3	a4

=a₁a₄-a₂a₃，將函數(shù)f（x）=

cosωx

sinωx

（其中ω＞0）的圖象向左平移

3ω

個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．若y=g（x）在[0，

]上為增函數(shù)，則ω的最大值（　　）

A、6

B、4

C、3

D、2

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若以曲線y=f（x）上任意一點M（x₁，y₁）為切點作切線l₁，曲線上總存在異于M的點N（x₂，y₂），以點N為切點作切線l₂，且l₁∥l₂，則稱曲線y=f（x）具有“可平行性”．現(xiàn)有下列命題：
①函數(shù)y=（x-2）²+lnx的圖象具有“可平行性”；
②定義在（-∞，0）∪（0，+∞）的奇函數(shù)y=f（x）的圖象都具有“可平行性”；
③三次函數(shù)f（x）=x³-x²+ax+b具有“可平行性”，且對應的兩切點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）的橫坐標滿足x₁+x₂=

；
④要使得分段函數(shù)f（x）=

(m＜x)

ex-1(x＜0)

的圖象具有“可平行性”，當且僅當實數(shù)m=1．其中的真命題是

．（寫出所有真命題的序號）

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給定下列命題：
①命題p：5x-x²＞0，q：|x-2|＜3，則￢p是￢q的必要不充分條件．
②“若sinα≠

，則α≠

”；
③“若xy=0，則x=0且y=0”的逆否命題；
④命題“?x₀∈R，使x₀²-x₀+1≤0”的否定．
其中真命題的個數(shù)是（　�。�

A、1

B、2