Question

1．設(shè)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式|x+6|+|x-1|≥m恒成立．
（I） 求m 的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)m取最大值時(shí)，解關(guān)于x的不等式：|x-4|-3x≤2m-9．

Answer 1

分析 （1）由|x+6|+|x-1|≥|x+6-x+1|=7，能求出m 的取值范圍．
（2）當(dāng)m取最大值時(shí)，m=7，原不等式等價(jià)于：|x-4|-3x≤5，由此能求出原不等式的解集．

解答 解：（1）∵|x+6|+|x-1|≥|x+6-x+1|=7，
又對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式|x+6|+|x-1|≥m恒成立，
∴m≤7，
∴m 的取值范圍是（-∞，7]．
（2）當(dāng)m取最大值時(shí)，m=7，
原不等式等價(jià)于：|x-4|-3x≤5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x≥4}\\{x-4-3x≤5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜4}\\{4-x-3x≤5}\end{array}\right.$，
解得x≥4或-$\frac{1}{4}$≤x＜4，
∴原不等式的解集為{x|x≥-$\frac{1}{4}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查絕對(duì)值不等式的解法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)的合理運(yùn)用．