Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x²+3x+b（b∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)b=0時(shí)，求f（x）在[1，4]上的值域；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的值域即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極大值和極小值，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，得到b的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)b=0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x²+3x，
f′（x）=x²-4x+3=（x-1）（x-3），
x∈[1，3）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在[1，3）遞減，
x∈（3，4]時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（3，4]遞增，
由f（3）=0，f（1）=f（4）=$\frac{4}{3}$，
∴f（x）在[1，4]的值域是[0，$\frac{4}{3}$]；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f′（x）=（x-1）（x-3），
由f′（x）＜0，解得：1＜x＜3，
由f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜1，
故f（x）在（1，3）遞減，在（-∞，1），（3，+∞）遞增，
故f（x）_極大值=f（1）=b+$\frac{4}{3}$，f（x）_極小值=f（3）=b，
故b+$\frac{4}{3}$＞0且b＜0即-$\frac{4}{3}$＜b＜0時(shí)，函數(shù)f（x）有三個(gè)不同的零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．