Question

已知橢圓：（）的右焦點(diǎn)，右頂點(diǎn),右準(zhǔn)線且．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）動直線：與橢圓有且只有一個交點(diǎn)，且與右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，試探究在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過定點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）利用橢圓的右準(zhǔn)線方程為，及聯(lián)立方程組求得、，從而得出橢圓的方程；（2）聯(lián)立方程組消去得到關(guān)于的一元二次方程，利用判別式，得出，由橢圓的對稱性知，妨設(shè)點(diǎn)，利用推出，又聯(lián)立程組可求得的值.

試題解析：（1）由題意，，，，，由得.

橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.                                  5分

（2）由得：，

，即，

,,即.    8分

假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，則由橢圓的對稱性知，點(diǎn)應(yīng)在軸上，不妨設(shè)點(diǎn).

又，，，若以為直徑的圓恒過定點(diǎn)，

則+=恒成立，

故，

即.                                                             12分

存在點(diǎn)適合題意，點(diǎn)與右焦點(diǎn)重合，其坐標(biāo)為（1,0）.            13分

考點(diǎn)：橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的關(guān)系，向量的數(shù)量積.