Question

曲線C上任一點到定點（0，

1

8

）的距離等于它到定直線y=-

1

8

的距離．
（1）求曲線C的方程；
（2）經(jīng)過P（1，2）作兩條不與坐標(biāo)軸垂直的直線l₁、l₂分別交曲線C于A、B兩點，且l₁⊥l₂，設(shè)M是AB中點，問是否存在一定點和一定直線，使得M到這個定點的距離與它到定直線的距離相等．若存在，求出這個定點坐標(biāo)和這條定直線的方程．若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線的定義可知：該曲線C是拋物線：x2=

1

2

y．
（2）把（1，2）代入拋物線方程滿足方程，因此點P在拋物線上．設(shè)直線l₁：y-2=k（x-1）（k≠0），l₂：y-2=-

1

k

(x-1)，分別與拋物線的方程聯(lián)立可得點A，B的坐標(biāo)．設(shè)線段AB的中點M（x，y），利用中點坐標(biāo)公式可得點M的軌跡為y=4x2+4x+

5

2

．可知此方程是拋物線，故存在一定點和一定直線，使得M到定點的距離等于它到定直線的距離．將拋物線方程化為(x+

1

2

)2=

1

4

(y-

3

2

)，此拋物線可看成是由拋物線x2=

1

4

y左移

1

2

個單位，上移

3

2

個單位得到的，即可得出定點和定直線．

解答：解：（1）由拋物線的定義可知：該曲線C是拋物線：x2=

1

2

y．
（2）把（1，2）代入拋物線方程滿足方程，因此點P在拋物線上．
設(shè)直線l₁：y-2=k（x-1）（k≠0），l₂：y-2=-

1

k

(x-1)，由

y=kx+2-k y=2x2

，化為2x²-kx-2+k=0，
∴x_A=

k-2

2

，∴y_A=

(K-2)2

2

，即A(

k-2

2

，

(k-2)2

2

)．
同理可得B(

- 1 k -2

2

，

(- 1 k -2)2

2

)．
設(shè)線段AB的中點M（x，y）．則

2x= k-2 2 + - 1 k -2 2 2y= (k-2)2 2 + (- 1 k -2)2 2

，
化為

4x=k- 1 k -4 4y=k2+ 1 k2 -4(k- 1 k )+8

，消去k化為y=4x2+4x+

5

2

．
∴點M的軌跡是拋物線，故存在一定點和一定直線，使得M到定點的距離等于它到定直線的距離．
將拋物線方程化為(x+

1

2

)2=

1

4

(y-

3

2

)，此拋物線可看成是由拋物線x2=

1

4

y左移

1

2

個單位，上移

3

2

個單位得到的，
而拋物線x2=

1

4

y的焦點為（0，

1

16

），準(zhǔn)線為y=-

1

16

．
故所求的定點為(-

1

2

，

25

16

)，定直線方程為y=

23

16

．

點評：本題考查了相互垂直的直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立、拋物線的定義、平移變換等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．